Cüneyt Çakır'ın, aslen Derepazarılı olan babası eski hakem ve MHK eski asbaşkanı olan Serdar Çakır'dır. Kariyerinde UEFA 21 Yaş Altı Avrupa Şampiyonası, FIFA 20 Yaş Altı Dünya Kupası, UEFA Şampiyonlar Ligi, UEFA Avrupa Ligi ve UEFA Avrupa Şampiyonası'nın yer aldığı 5 yarı final hakemliği bulunan Cüneyt Çakır, FIFA'nın atamasıyla Bahattin Duran ve Tarık Ongun ile birlikte hem UEFA Avrupa Şampiyonası ilk FIFA Dünya Kupası'nda görev alan Doğan Babacan'dan sonra ikinci Türk hakemidir.

Duran ve Ongun, FIFA Dünya Kupası'nda görev alan ilk yardımcı hakemler olarak kayıtlara geçti. Cüneyt Çakır, ekibiyle birlikte 6 Haziran 2015'te Şampiyonlar Ligi Finalinde Barcelona-Juventus maçını yöneterek Şampiyonlar liginde final yöneten ilk Türk hakem olmuştur.

Cüneyt Çakır Kocaeli Üniversitesi İşletme Bölümü mezunudur. Hakemliğin yanında sigortacılık mesleğiyle de uğraşmaktadır. 4 Ağustos 2022 tarihinde, Türkiye Futbol Federasyonu Başkanı Mehmet Büyükekşi, FIFA kokartlı hakem Cüneyt Çakır'ın kariyerini noktaladığını duyurdu. Cüneyt Çakır, MHK’ya görevini bırakıp eğitmen olmak istediğini iletti. Eski hakemlerden Deniz Çoban ve Deniz Ateş Bitnel’in de Twitter hesaplarından yaptığı paylaşımlarda Çakır’ın düdüğünü astığı belirtildi. UEFA son olarak Cüneyt Çakır’a 2 Ağustos’ta Şampiyonlar Ligi 3. Eleme Turu’nda oynanan Ludogorets-Dinamo Zagreb maçında görev vermişti.

MHK ise Süper Lig’in ilk hafta maçlarında Cüneyt Çakır’a görev vermedi. Ayrıca Türkiye Futbol Federasyonu Başkanı Mehmet Büyükekşi, beIN Sports’ta katıldığı programda Çakır’ın alt kademedeki hakemlere eğitip vermek isteğini paylaştı.